Système de numération de base b

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Un système de numération est un ensemble de symboles (les chiffres) et de règles qui permettent d’écrire les nombres entiers naturels.

I) Leçon

1) Système de numération de base dix

\rightarrow Dans le système de base dix (système de numération décimale), les nombres entiers naturels sont écrits à l’aide de dix chiffres (0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 et 9).
\rightarrow Ce système est décimal (il évoque des groupements successifs de dix éléments) et positionnel (la valeur d’un chiffre est déterminée par son rang).

3107b02d-067a-4f33-b31c-9104039b6070
Rappel : b0=1b^{0}=1 et bn=b×b××bn facteurs eˊgaux aˋ bb^{n}=\underbrace{b\times b\times \ldots \times b}_{n\rm\ \text{facteurs égaux à}\rm\ \textit{b}}

2) Chiffres des... et nombre de...

En base dix, un nombre entier naturel peut être décomposé à l’aide des puissances de 10.
Exemple 1 : 4 203=4×103+2×102+3×1004~203=4\times10^3+2\times10^2+3\times10^0

Dans 4 203, 4 est le chiffre des milliers, 2 le chiffre des centaines...
Exemple 2 : en base dix, le nombre 4 203 peut aussi être décomposé sous d’autres formes.
4 203=42×102+3×1004~203=42\times10^2+3\times10^0
Cette décomposition met en évidence que, dans 4 203, 42 est le nombre de centaines.
4 203=420×101+3×1004~203=420\times10^1+3\times10^0
Cette décomposition met en évidence que, dans 4 203, 420 est le nombre de dizaines.

3) Système de numération de base b

\rightarrow Dans un système de base b (b entier naturel, b>1), les nombres entiers naturels sont écrits à l’aide de b chiffres : 0, 1, ... à b1b-1.
\rightarrow Ce système est fondé sur des groupements successifs de b éléments et il est positionnel (la valeur d’un chiffre est déterminée par son rang).
\rightarrow b étant un entier naturel supérieur à 1, tout nombre entier naturel n peut être décomposé à l’aide des puissances de b :

6a23d10f-65c5-4e12-87c9-bb2c953151d0

Par exemple, ici, n=a3×b3+a2×b2+a1×b1+a0×b0n=a_{3}\times b^3+a_{2}\times b^2+a_{1}\times b^1+a_{0}\times b^0a3;a2;a1;a0a_{3} ; a_{2} ; a_{1} ; a_{0} sont tous des entiers naturels inférieurs à b. On écrit : n=a3a2a1a0base bn=\overline{a_{3}a_{2}a_{1}a_{0}}^{\text{base}\rm\ \textit{b}}.

II) Ce qu'il faut savoir faire

\rightarrow Écrire en base dix un nombre donné en base b
Exemple : écrire en base dix le nombre 2α0βbase douze\overline{2\alpha0\beta}^\text{base douze}, les chiffres en base douze étant successivement 0, 1, 2... 9, α, β.

0b76e71e-4abe-46df-bed0-3af8ba14359b


\rightarrow Écrire en base b un nombre donné en base dix
Exemple : écrire en base quatre le nombre 147 (donné en base dix).

251384db-c253-49cd-a8d6-64dfc5475d19

III) Je m'entraîne

1. Écrire en base dix le nombre 4 021base cinq\overline{4~021}^\text{base cinq}.
2. Écrire en base six le nombre 445 donné en base dix.